Breve storia della fisica delle particelle 3

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Breve Storia della Fisica delle Particelle


La luce, le onde, i corpuscoli

Non fu senza dolore che, dopo i lavori di Planck e di Einstein, il mondo dei fisici dovette ammettere che la luce si comportava in un modo davvero strano, là come un'onda di cui si poteva misurare la frequenza  ν e che formava figure di interferenza, qui come una piccola sfera che provocava collisioni e di cui si poteva conoscere l'energia E. Ma era sorprendente il fatto che questi due aspetti non potessero essere esaminati assieme, come se uno cancellasse l'altro, come se fossero le due facce complementari, diritto e rovescio, di un medesimo essere.
Nel 1923 Compton ne diede una prova irrefutabile. Pensò che forse era possibile definire una quantità di moto del fotone, malgrado la sua massa nulla e la velocità praticamente infinita, e cercò di studiare come si conservava nelle collisioni. La definì con p = E / c, mantenendo la prima definizione di Planck   E = h ν. Quando il fotone entra in collisione con un elettrone (aspetto corpuscolare), non solo è deviato ma perde anche l'energia ceduta al suo compagno che rincula a causa dell'urto. Poiché il fotone non può cambiare velocità e poiché la sua massa è nulla, può perdere energia soltanto cambiando frequenza (aspetto ondulatorio): è questo l'effetto Compton.

Nell'effetto Compton, la collisioni tra un fotone γ e un elettrone e fa variare la frequenza del fotone da ν  a ν', mentre l'elettrone emesso ha energia  h(ν-ν')

Arthur Holly Compton (1892-1962)

Il primo modello del sistema quantico, l'atomo di Bohr
 
La radiazione luminosa emessa dagli atomi eccitati mediante alte temperature si osserva soltanto a certe determinate frequenze che costituiscono le righe degli spettroscopisti quando la luce è analizzata attraverso un prisma. Queste righe si dispongono secondo una regola empirica scoperta da Rydberg e Ritz nel 1905. (Un arcobaleno è una serie di righe, analizzate dalle goccioline di pioggia, che costituiscono lo spettro della luce solare) In questo caso si dice che lo spettro di emissione non è continuo, cioè che le frequenze di vibrazione delle radiazioni emesse da un dato atomo non possono essere qualsiasi, dato che si dispongono in una serie discontinua di valori, indice di quantizzazione che non può essere spiegata dal primo modello atomico di Rutherford.
Il sistema proposto nel 1913 dal fisico danese Niels Bohr fu il primo tentativo di esprimere in forma matematica la differenza essenziale tra la meccanica degli insiemi quantizzati e quella degli insiemi continui. Egli suppose, come Rutherford, che gli elettroni gravitassero attorno all'atomo come i pianeti attorno al sole, ma in modo così strano da non emettere radiazioni e da poter rimanere inosservabili durante il loro movimento.
Fin da questo momento occorreva introdurre ad hoc una spiegazione giustificabile e non del tutto gratuita, necessaria al seguito del ragionamento. L'idea originale fu di precisare che le orbite stabili che possono essere occupate dagli elettroni all'interno dell'atomo di cui fanno parte hanno delle lunghezze legate tra loro dal rapporto tra due numeri interi, allo stesso modo, ad esempio, delle frequenze delle note di un pianoforte.
Gli strumenti musicali ci forniscono l'analogia necessaria; il piano, o l'organo, sono quantizzati e non possono emettere che una serie di note discontinue, mentre il violino o il trombone a coulisse permettono delle vibrazioni di tono continue. L'onda dell'elettrone gravitante attorno all'atomo forma un sistema di onde stazionarie, analogo a quello delle onde sonore all'interno di una canna d'organo, e tutte le orbite possibili costituiscono una gamma. L'ipotesi di Bohr è che non si possono sentire le note della gamma ma solo una specie di "bip" quando l'elettrone salta da una nota all'altra, cioè da un'orbita stabile a un'altra, sotto forma di un'emissione di quanti, i fotoni.
  Niels Bohr (1885-1962)
L'energia liberata da questo fotone non può dunque essere che la differenza tra quelle immagazzinate dall'elettrone nelle orbite finale e iniziale, il che dà l'aspetto quantico a questa emissione. Poiché queste energie hanno sempre la forma h ν  e h ν' , l'energia della radiazione emessa potrà assumere soltanto una serie discreta di valori aventi la forma h ( ν   - ν' ).
Su queste basi Bohr creò "l'antica teoria dei quanti" che, nonostante i perfezionamenti ad essa apportati da Sommerfeld, rimase in larga misura arbitraria; comunque, malgrado la sua arbitrarietà, questa teoria permise durante gli anni successivi di ottenere un gran numero di risultati assai soddisfacenti per quei tempi.
 
La scoperta delle onde di materia
 
Nel 1924, meditando sulle simmetrie della natura, Louis de Broglie pensò di estendere alle particelle di materia il dualismo onda-corpuscolo che si era rivelato nella luce. A ogni corpuscolo materiale in movimento basta associare un'onda di frequenza ν, sempre legata all'energia dalla formula di Planck    E = h ν ; questo fatto si esprime più semplicemente dicendo che la lunghezza d'onda  λ del corpuscolo vale λ =  h / p.
Questa bella intuizione fu confermata senza eccezioni dalle prime esperienze famose di Davisson e Germer, e poi nel 1927 di G.P. Thomson, che permisero di ottenere frange di interferenza con gli elettroni come già si faceva con la luce. Così i corpuscoli di materia potevano non solo provocare collisioni e propagarsi come palle da biliardo, ma erano anche accompagnati da un'onda della quale peraltro non si comprendeva ancora bene la natura fisica. Ma Louis de Broglie spiegò che non si trattava di un'onda normale ma piuttosto di un piccolo pacchetto di vibrazioni che circondava e guidava l'oggetto. Prima dell'esperienza, l'essere quantistico è come diluito nello spazio secondo una certa densità e sembra svanire e riapparire al ritmo della sua onda: è l'esperienza che, bruscamente, lo localizza.
Malgrado tutti gli sforzi degli spiriti materialisti, non è sempre possibile dare una forma fisica a quest'onda che si manifesta solo localmente e in modo astratto e matematico, come una vibrazione di esistenza. Il suo valore in un punto dello spazio non indica altro che la probabilità della presenza della particella in quel punto, e può quindi essere definita soltanto in modo relativo mediante le sue variazioni da un punto all'altro. Questo vuol dire, ad esempio, che la probabilità di trovare un elettrone in un certo punto dello spazio è una funzione che dipende dal posto in cui lo si cerca e che ha un andamento sinusoidale rispetto al tempo. Quando ci si imbatte per la strada in un ubriaco, e si è costretti a spostarsi di qua o di là sul marciapiede dove la probabilità della sua presenza è minima, si compie una operazione di estrapolazione della sua onda.
Louis Victor de Broglie (1892-1987)
L'esistenza di onde di materia è possibile soltanto perché la costante di Planck (h), per quanto piccolissima, non è nulla. Si può quindi dire che la meccanica classica del continuo, come fu formulata da Galileo e Newton, non è che un caso particolare della meccanica quantistica applicabile ai sistemi le cui dimensioni sono così grandi da rendere trascurabile h e quindi non percepibili le onde di materia. L'effetto della quantizzazione diviene inesistente alla scala macroscopica e, per accorgersene, basta confrontare il valore di h  (6,6 * 10-27 erg s) all'azione di un microgrammo durante un secondo; il rapporto è circa 10-24 , cioè un milione di miliardi di miliardi. Le lunghezze d'onda degli elettroni lenti sono dell'ordine di 10-10 cm e sono perciò paragonabili alle dimensioni dei sistemi atomici, il che spiega perché l'aspetto ondulatorio dell'elettrone può essere messo in evidenza soltanto facendo diffondere un fascio di elettroni dal reticolo cristallino atomico di un sottile foglio di metallo.
Per capire meglio il legame tra probabilità di presenza e fenomeno ondulatorio esaminiamo l'esperienza di Young. Quando un fascio coerente e monocromatico di fotoni di luce o di elettroni passa attraverso due fori posti a distanza molto piccola (A e B), dell'ordine della lunghezza d'onda delle particelle osservate, su una lastra fotografica posta dietro lo schermo forato (E) si disegnano zone d'interferenza fatte d'ombra e di luce. La spiegazione classica tiene conto della differenza di cammino tra il fotone che va da A a E e quello che va da B a E; questa differenza introduce uno sfasamento tale che l'effetto di un fotone può annullare quello dell'altro quando essa è pari a una mezza lunghezza d'onda o a un suo multiplo dispari.
La spiegazione quantistica è diversa in quanto predice che l'effetto sarebbe lo stesso anche se le particelle, arrivando ad una ad una, andassero a distribuirsi in modo statistico sulla lastra fotografica; il fatto che esse passino attraverso A o attraverso B dipende solamente dalla loro probabilità di presenza in A o in B al momento in cui si presentano davanti ai fori. L'elettrone non è localizzato nel momento in cui passa attraverso i fori A e B (aspetto ondulatorio), mentre si materializza con un impatto sulla lastra (aspetto corpuscolare). Prima di essere rivelato, esso è quindi distribuito nello spazio secondo una certa probabilità.
Nell'esperienza di Young, un fascio di fotoni, coerenti e monocromatici, passa attraverso due forellini molto vicini A e B. Sullo schermo E si osservano zone interferenziali di ombra e di luce.

Se si vuole assolutamente sapere se l'elettrone è passato realmente per A o per B, un rivelatore permetterà di scoprire il suo passaggio per A in quanto corpuscolo. Ma in questo modo si viene a distruggere l'aspetto ondulatorio che dà le interferenze, dato che queste due manifestazioni dell'elettrone, onda e corpuscolo, sono complementari e si escludono a vicenda: talvolta è onda, talvolta è corpuscolo, ma  non può essere tutte e due le cose contemporaneamente. Piazzando il rivelatore si distruggono le immagini interferenziali della lastra fotografica. Dicendo che non si può affermare se l'elettrone viene da un foro o dall'altro, si dice che viene contemporaneamente da entrambi: questo è il ragionamento quantistico. E' meglio cercare di abbandonare tutte le speranze di rappresentazione oggettiva del fenomeno e lasciarsi guidare dal formalismo del metodo che è coerente malgrado la sua apparente illogicità. Accontentiamoci quindi di immaginare che la distanza tra i fori sia dell'ordine di grandezza della lunghezza d'onda dell'elettrone, cioè 10-10 cm, distanza che si ha solo tra due atomi di un reticolo cristallino.

L'equazione di Schrodinger
 
Due anni dopo l'ipotesi di Louis de Broglie, il matematico Schrodinger la formulava in un'equazione celebre e mai abbandonata, gettando così stabilmente le basi della meccanica ondulatoria. Con un metodo che  non è possibile esporre senza penetrare nel dominio troppo delicato degli operatori e delle matrici, era in grado di calcolare una "funzione d'onda", simbolizzata dalla lettere  ψ , per tutti i sistemi quantistici, atomi e particelle, e di definire il suo valore in tutti i punti dello spazio e del tempo, valore che, ricordiamolo, varia secondo leggi sinusoidali in quanto descrive una vibrazione.
Questa funzione d'onda, di cui sono note le variazioni nello spazio e nel tempo, costituisce una descrizione completa del sistema dato che tutti i parametri, anche quelli più intimamente nascosti, devono da essa poter essere dedotti.
  Erwin Schrodinger (1887-1961)
Nulla permette di mettere in dubbio questa affermazione che fu peraltro contestata da eminenti scienziati i quali sostenevano che la funzione d'onda non poteva spiegare tutto. Per servirsi della funzione d'onda basta saperla manipolare per ottenere a piacimento il valore dell'energia o dei momenti cinetici o di qualsiasi altra variabile. La probabilità di presenza di una particella in un punto è semplicemente il quadrato della funzione d'onda in quel punto,  ψ2, unica relazione che sembra dare alla funzione un qualche senso fisico (questa interpretazione è dovuta a Born). Essa descrive come la particella è distribuita nello spazio prima dell'esperienza e a quale frequenza vibra la sua esistenza. Un'analogia elettrica ci aiuterà a comprendere questa rappresentazione. Una corrente di intensità I produce una potenza proporzionale al suo quadrato, secondo la legge di Joule W = R I2 . Ciò significa che la manifestazione energetica della corrente è sempre positiva, qualunque sia il senso di propagazione, + I o - I. Il segno dell'intensità non interviene quindi nella materializzazione energetica anche se resta capace di intervenire, ad esempio nel senso di rotazione dei motori. Possiamo quindi pensare  che la funzione che rappresenta l'ampiezza dell'onda abbia un segno e una fase, ma soltanto elevandola al quadrato ne otteniamo una rappresentazione fisica, anche se il segno interviene nelle manifestazioni non energetiche come le interferenze o la parità.
Ma non vi è nulla di completamente nuovo nell'equazione di Schrodinger, di cui si trova l'analogo, in meccanica classica, nelle equazioni di Lagrange che permettono, quando si è riusciti a esprimere l'energia di un corpo in movimento mediante la sua posizione e le sue velocità, di dedurre il valore dei parametri che ne regolano l'evolversi mediante una manipolazione matematica. Vi è però una differenza molto importante: se le equazioni di Lagrange danno a questi numeri delle variazioni continue, quelle di Schrodinger rivelano, oltre a variazioni continue, anche delle variazioni discontinue.
 
La meccanica quantistica di Heisenberg
 
Negli stessi anni Heisenberg con Born e Jordan, sviluppò un'altra meccanica degli insiemi quantistici che portò agli stessi risultati della precedente. Egli suppose, in relazione al quanto d'azione di Planck, che esistessero delle coppie di variabili che non possono essere misurate assieme con una precisione infinita poiché una incertezza accompagnava la loro osservazione simultanea. Quanto più ci si rivolge a osservare l'una, tanto meno si ha l'altra; secondo l'espressione di Niels Bohr, esse sono variabili complementari cioè corrispondenti a concetti che, benché contraddittori, sono tuttavia necessari assieme per descrivere la totalità del fenomeno osservato e di cui l'uno non può definirsi che mediante l'evoluzione dell'altro. Come la vita e la morte che sono le due facce del fenomeno umano.
La posizione di un mobile nello spazio (concetto d'immobilità) e la sua velocità sono complementari e le loro misure, x per la posizione e p per la quantità di moto, sono affette dalle indeterminazioni Δx e Δp, secondo la formula fondamentale   Δx  Δp  ≥   / 2  : il loro prodotto è sempre superiore alla metà di .
La stessa indeterminazione lega la misura simultanea dell'energia E e del tempo t
 ΔE  Δt  ≥    / 2
il che significa che in un tempo molto breve l'energia non è definita. Non si tratta di una limitazione superabile con una misura più perfezionata, ma di una indeterminazione sostanziale che fa intervenire i quanti di Planck e che pertanto resta completamente inosservabile alla nostra scala. Abbiamo visto, nell'esperienza di Young, che l'aspetto ondulatorio del movimento dell'elettrone si giustifica soltanto se esso è localizzato al momento del passaggio attraverso i fori, e che le figure di interferenza determinate dalla quantità di moto p non si manifestano che quando vi è un'indeterminazione sulla posizione pari alla distanza tra i fori. E' proprio perché non si sa dove è localizzata una particella in movimento che essa sembra diluita prima dell'esperienza, e questa diluizione è il risultato dell'indeterminazione Δx sulla sua posizione.
Werner Heisenberg (1901-1976)
La meccanica quantistica ci fornisce profondi insegnamenti di grande portata filosofica: si misura soltanto ciò che è osservabile, si misura assieme solo ciò che non è complementare. Ci insegna anche che tra due fenomeni osservati non si può sapere nulla di ciò che è stato durante quello che Reichenbach chiama l'"interfenomeno". Qui si possono immaginare gli avvenimenti ipotetici più fantastici, fintantoché essi sono permessi dalle relazioni di indeterminazione di Heisenberg, e l'energia può fluttuare fino all'infinito durante un tempo nullo, come la posizione poteva fluttuare da un foro all'altro nella esperienza dei due fori di Young.
 
Lo spin
 
Gli spettroscopisti avevano già osservato nel 1925 che le righe degli spettri [Le righe di uno spettro costituiscono il dettaglio dell'analisi di una radiazione proprio come i colori dell'arcobaleno quando la radiazione luminosa è analizzata mediante un prisma] atomici hanno una struttura fine fatta di sottili righe ravvicinate. Il quanto emesso dall'elettrone durante il salto da un'orbita di Bohr a un'altra poteva effettivamente assumere due valori molto vicini, come se esistessero due modi di cambiare energia, risultato che fu confermato da altri effetti relativi allo spostamento e alla moltiplicazione di queste righe quando l'atomo è posto in un campo magnetico.
Si suppose perciò che l'elettrone possedesse una variabile interna, fino allora nascosta, che poteva assumere due valori, positivo o negativo, e capace di modificare leggermente la sua energia. Si trattava dello "spin", attribuito alla rotazione dell'elettrone su se stesso, rotazione che crea un piccolo momento magnetico e rende quindi la particella simile a una calamita con polo nord e polo sud, calamita che possiamo immaginare creata dalla carica elettrica che ruota attorno a un asse.
Questa immagine però è assai grossolana perché la natura dello spin rimane misteriosa.
Il suo valore, dovendo essere il più piccolo possibile, non può esistere che nelle due forme +  / 2   e   -  / 2, come se l'elettrone non potesse ruotare, in un senso o nell'altro, che attorno a una direzione unica. La piccola calamita che rappresenta l'elettrone a causa del suo spin può essere orientata, durante una misura, solo in due sensi opposti, orientazione che spiega la scoperta dello sdoppiamento delle righe.
Così, oltre alla carica elettrica, alla massa a riposo e all'energia, conosciamo anche lo spin e il momento magnetico, cioè per adesso cinque parametri capaci di descrivere un essere del mondo quantistico.
Alcuni anni più tardi il fisico inglese P.A.M. Dirac stabilì una serie di equazioni quantistiche molto complesse dalle quali la nozione di spin sorge spontaneamente come se fosse stata da sempre sottintesa e nascosta nella teoria! Poiché le equazioni di Dirac descrivevano anche la possibilità dell'esistenza di un elettrone positivo, tutto fu messo in opera per scoprirlo.
 
Spin e statistiche
 
Il comportamento misterioso dello spin sorprese il mondo dei fisici perché le particelle che possedevano uno spin semintero (come 1/2 o 3/2) non reagivano come quelle che avevano spin intero (come 0, 1 o 2). Louis de Broglie propose a quel tempo di considerare gli spin 1/2 come stati realmente elementari e di immaginare le particelle di spin intero come fusione di particelle di spin 1/2 che si accoppiano in modo tale da sommare gli spin, se questi sono paralleli, e da sottrarli, se antiparalleli.
Approfittiamo di quest'esempio per notare che i momenti cinetici, come la carica elettrica, sono numeri quantici additivi, il che significa che quando un sistema di spin A si accoppia a un sistema di spin B, lo spin finale dell'insieme (A, B) è A + B.
Quando più individui sono assieme, il loro comportamento (posizione e velocità) non può essere descritto singolarmente ma segue grosso modo le leggi di una "distribuzione statistica". La statistica è quindi lo studio delle società di particelle. Se le consideriamo identiche e indistinguibili, in modo che la loro identità non possa essere seguita durante una reazione, possiamo scambiarle a due a due senza modificare la ripartizione apparente. Si dice allora che esse obbediscono alle leggi della "statistica" di Bose-Einstein che permette di ammassarne tante quante se ne vuole in un medesimo luogo senza rivelare interazioni tra esse dato che sono sovrapponibili. Con una certa approssimazione, è il caso dei fotoni come quanti di campo, dato che la teoria di Maxwell prevede che niente impedisce di avere in un punto dello spazio un campo grande quanto si vuole, il che si può ottenere solo ammassando un numero infinito di fotoni in uno stesso punto. (in realtà, una debole interazione fotone-fotone non permette di considerarli come un gas puro di Bose-Einstein). Queste particelle sono chiamate "bosoni", e l'esperienza prova che possono avere solo spin interi.
Enrico Fermi (1901-1954)
Ma si possono immaginare altre società formate da particelle identiche ma quasi-distinguibili, tali che non si possano scambiarle a coppie senza modificare la ripartizione. Esse obbediscono a una statistica che ha leggi differenti dalla precedente, la statistica di Fermi-Dirac, e hanno il nome generico di "fermioni"; sono tutte le particelle con spin semintero come l'elettrone o il protone che hanno spin 1/2.
Nasce qui l'importante principio di esclusione di W. Pauli il quale stabilisce che fermioni (particelle di spin 1/2 o semintero come 3/2) non possono esistere contemporaneamente nel medesimo stato, cioè grosso modo nel medesimo luogo con le stesse velocità e con gli stessi numeri quantici. I fermioni non sono quindi sovrapponibili, e questa straordinaria differenza tra le particelle di spin intero e le altre rimane sempre un profondo mistero.
  Wolfgang Pauli (1900-1958)
E' il principio di esclusione di Pauli che permette ad un oggetto di non dissolversi nelle vostre mani, dato che ogni fermione occupa uno spazio vitale che non può spartire. Esso forma la materia in ciò che ha di solido, mentre i bosoni sono i quanti di campo che regolano le interazioni tra i fermioni e il loro numero può variare per emissione o assorbimento. Un fermione è simile a un battello su un lago spinto da un vento di bosoni.
I fermioni, essendo quasi-distinguibili, possiedono quindi una personalità, una identità, che sottintende una certa permanenza che manca invece ai bosoni, i quali vengono al mondo con un fenomeno fuggevole ed evanescente.
 

a cura di Pio Passalacqua 

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